ストラテジーの探し方

デルタ関数とその性質

デルタ関数とその性質
そのような考え方で、さらにステップ関数の「弱微分」として考え出されたものがデルタ関数なのです。 デルタ関数は数学的に言えば「関数」とさえ呼べないもので、普通は「超関数」と呼んで普通の関数とは区別します。 デルタ関数は \(x = 0\) で無限大になり、それ以外では \(0\) になります。 そのため、\(x = 0\) を含む領域で積分すると積分値は \(1\) になりますが、\(x = 0\) を避けるように積分領域を選ぶと積分値は \(0\) となってしまい、矛盾が生じます。 このような状況は、数学的に言えば「積分できない」ということになります。 「デルタ関数の積分はステップ関数になる」というのは、定義だと言っても良いもので、自由自在に積分できるという訳ではないのです。 従って、ルベーグ空間の \(L^\) ノルム(の計算に必要な積分)が計算できないのでルベーグ空間には含まれなくなります。 ステップ関数の弱微分がデルタ関数ですから、ステップ関数の1階微分に関するノルムは一切計算できない、ということですからステップ関数はルベーグ空間には含まれるものの \(H^\) や \(W^\) には含まれないということになります。 同様にランプ関数は \(H^\) に含まれますが \(H^\) には含まれません。

スカラー場のデルタ関数の性質について

スカラー場 f(x,y,z) のデルタ関数 δ(f(x,y,x)) の性質について質問します. この δ(デルタ関数とその性質 f(x,y,x)) と,δ(x,y,x) の関係はどのようになるのでしょうか? f(x,y,z) = 0 を満たすある一つの (a,b,c) については, δ(f(x,y,x)) = ( 1 / |grad f(a,b,c)| ) δ(x-a, y-b, z-c) となると思いますが,f(x,y,z) = 0 を満たす点が無限にあると考えると, よく分からなくなってしまいます. どのように考えればよいのでしょうか? また, ∫∫∫δ(f(x,y,x)) dxdydz は,積分した体積に含まれる等位面 f(x,y,z) = 0 の面積となりますでしょうか? 勉強不足で申し訳ありませんが, どなたかご教示いただければ幸いです.

みんなの回答

  • 2015/11/15 10:11 回答No.1

δ(f(x,y,x))のような使い方はあまり一般的でないので、まず、定義を与えてください。1次元 δ(φ(x))から始めてください。 一般的なのはディラックのデルタ関数として ∫(-∞→∞)[f(x)δ(デルタ関数とその性質 x-a)]dx = f(a) のような性質を持つものです。.

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デルタ関数とその性質

前回は関数空間におけるノルムと内積について解説しました。
最後に関数空間の考え方をより深く理解して頂くために、エンジニアリングの分野(例えば、制御工学や振動工学)でよく出てくる 3 つの関数と \(H^\) との微妙な関係を述べておきます。

ランプ関数は \(x \le 0\) の時に \(0\) で、\(x \gt 0 \) の場合 \(x\) となるような関数です。 この関数は \(H^\) デルタ関数とその性質 に含まれます。 このランプ関数を微分した関数はステップ関数(ヘビサイドの階段関数)と呼ばれ、さらにそれを微分した関数はデルタ関数(ディラックのデルタ関数)と呼ばれます。 逆に、デルタ関数を積分するとステップ関数、ステップ関数を積分するとランプ関数になります。

ランプ関数、ステップ関数、デルタ関数

ランプ関数は \(H^\) に含まれる典型的な関数です。これは第8回で説明した通りです。
ステップ関数を微分するとデルタ関数になる、という知識をお持ちのエンジニアは、ステップ関数も \(H^\) に含まれるのではないかと考えがちです。 確かに、ステップ関数の1階微分がデルタ関数で、デルタ関数が無限大にならないで積分できるとすれば、\(H^\) に含まれていても良いような気がしてきます。 正確には \(H^\) のノルムは1階微分の2乗を積分しますので、デルタ関数の2乗が計算できるかどうか、という疑問が湧いてきます。
実は、デルタ関数の2乗は定義されていないので、ステップ関数は \(H^\) に含まれません。 また、デルタ関数自身も \(L^\) に含まれません。

デルタ関数自身が \(L^\) に含まれないとしても、\(L^\) には含まれていて良いような気がする方も多いかと思います。 また、ステップ関数についても \(H^(= W^)デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 \) には含まれないとしても \(W^\) には含まれていて良さそうな気がします。
しかしながら結論から言うと、デルタ関数はいかなるルベーグ空間 \(L^

, p = 1, 2, . \) にも含まれませんし、ステップ関数はいかなるソボレフ空間 \(W^, p = 1, 2, . \) にも含まれません。 この事実は、ステップ関数とデルタ関数の関係をご存知の方には少々衝撃的かもしれませんが、その理由が分かると、ルベーグ空間やソボレフ空間における「積分」やソボレフ空間における「微分」の理解が深まります。

そもそも、ランプ関数は微分可能な関数ではありません。
ランプ関数のグラフを見ると \(x = 0\) のところで傾きが不連続に変化しています。 この部分は数学的に言えば、微分が不可能なのです。 しかしながら、\(x = 0\) の点での微分値が何であろうと、「微分した関数(導関数)の積分」は計算できます。
これは「弱微分」という考え方で、部分積分に基づいて定義されます。 ソボレフ空間の文脈で出て来る「微分」という概念は、正確に言えば、この「弱微分」という概念が使われています。 つまり、ランプ関数の「弱微分」がステップ関数になるのです。 ステップ関数は \(x = 0\) のところで不連続になります。 通常、ステップ関数と言えば \(x = 0\) のところで 0.0, 0.5, 1.0 等になるように定義されますが、\(x = 0\) のところでどんな値をとっても デルタ関数とその性質 ランプ関数の「弱微分」になります。 つまりランプ関数の弱微分は一意に決まらず、積分値が一致する範囲で任意性があるのです。

そのような考え方で、さらにステップ関数の「弱微分」として考え出されたものがデルタ関数なのです。 デルタ関数は数学的に言えば「関数」とさえ呼べないもので、普通は「超関数」と呼んで普通の関数とは区別します。 デルタ関数は \(x = 0\) で無限大になり、それ以外では \(0\) になります。 そのため、\(x = 0\) を含む領域で積分すると積分値は \(1\) になりますが、\(x = 0\) を避けるように積分領域を選ぶと積分値は デルタ関数とその性質 \(0\) となってしまい、矛盾が生じます。 このような状況は、数学的に言えば「積分できない」ということになります。 「デルタ関数の積分はステップ関数になる」というのは、定義だと言っても良いもので、自由自在に積分できるという訳ではないのです。 従って、ルベーグ空間の \(L^

\) ノルム(の計算に必要な積分)が計算できないのでルベーグ空間には含まれなくなります。 ステップ関数の弱微分がデルタ関数ですから、ステップ関数の1階微分に関するノルムは一切計算できない、ということですからステップ関数はルベーグ空間には含まれるものの \(H^\) や \(W^\) には含まれないということになります。 同様にランプ関数は \(H^\) に含まれますが \(H^\) には含まれません。

第8回からこの記事まで、\(H^\) 勾配法の「\(H^\)」に焦点を当てて解説しました。 長くなりましたので、ここまでの話をまとめておきます。

\(H^1\) 勾配法の \(H^1\) とは、ある種の関数空間を表すのでした。 空間とは集合の概念に似たもので、その元の間になんらかの関係性が定まっているものを集めたものでした。
その例として、元同士の線形結合が定義された線形空間、距離が定義された距離空間、大きさを一般化した概念であるノルムが定義されたノルム空間、内積が定義された内積空間を紹介しました。

距離が定義されていれば、その空間におけるコーシー点列を考えることができました。 これは互いの距離がゼロに収束するような点の並びでした。 いかなるコーシー点列でも同じ空間上に収束するという性質を完備性と呼ぶのでした。 この性質は距離空間における連続性と考えることができるものでした。 そして、完備な内積空間をヒルベルト空間と呼ぶのでした。

関数空間として、関数そのものを用いたノルムが定義されたルベーグ空間と、さらにその導関数を取り入れたノルムが定義されたソボレフ空間を紹介しました。 \(H^1\) とはソボレフ空間の一種で、関数同士の内積が定義された関数空間となっていました。 そして、この関数空間は完備であることにも触れました。 つまり、\(H^1\) に属する関数の点列が収束するならば、その収束点も \(H^1\) デルタ関数とその性質 デルタ関数とその性質 の元となることが保証されているのでした。

デルタ関数

前回はフーリエ級数展開を見ていきましたが、これは周期関数しか扱えないという重大な欠点がありました。普通、関数といえば非周期的ですから、似たような仕組みでもって非周期関数も扱える方法がないか気になるところです。実はそのような仕組みが存在することはとっくの昔に知られていて、フーリエ変換と名付けられているわけです。この回ではフーリエ変換というものを2通りの方法で導出していこうと思います。 【目次】 フーリエ変換の導出①(フーリエ級数展開からの拡張) フーリエ変換の例(デルタ関数のフーリエ変換) フーリエ変換の導出(デルタ関数の性質から求める方法) フーリエ変換の導出①(フーリエ級数展開からの拡張) …

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フーリエ変換の定義と性質

物理数学

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フーリエ変換の物理的意味

とは言うものの,一応それっぽいことを書いておきます。どのような関数でも正弦関数と余弦関数を適当に定数倍して足し合わせることで表現できる(フーリエの定理)ことが知られています。この時足し合わせるのは,様々な(理論上は無限の種類の)周波数をもつ三角関数を足し合わせる必要があります。例えば高校で出てくる3倍角の公式\[ \cos^3(t) = \dfrac \cos(3t) + \dfrac \cos(t) \] も,左辺の関数を周波数\(\dfrac<2\pi>\)の関数である\(\cos(t)\)と周波数\(\dfrac<2\pi>\)の関数である\(\cos(3t)\)デルタ関数とその性質 を使って表現した,ということができます。

このような時,関数を分解したときのそれぞれの周波数の寄与度は係数で表現できそうですよね。つまり先の例での\(\cos^3(t)\)は,周波数\(\dfrac<2\pi>\)の寄与が\(\dfrac \),周波数\(\dfrac<2\pi>\)の寄与が\(\dfrac \)ということができます。つまり,時刻\(t\)で関数を表現する代わりに,周波数\(\omega\)の寄与度で表現しているわけです。時間によって変化するある関数やデータにおいて,どの周波数からの寄与が大きいかを調べることをスペクトル解析と言ったりもして,幅広い分野で用いられています。

フーリエ変換の数学的性質

この変換の解釈はこの位にしておいて,数学的な性質をチェックしていきましょう。いちいち積分記号を書くのも面倒なので\(f(t)\)から\(\hat(\omega)\)への変換を\[ \hat(\omega) = \mathcal[f(t)] \]と書くことにしましょう。まず,これは線型変換ですから線型性

と書けます。これは非常に便利で,微分のフーリエ変換は元の関数のフーリエ変換の\(i\omega\)倍となります。次に,元の関数を時間方向に\(a\)倍縮めたものの変換は

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数学におけるディラックのデルタ関数(デルタかんすう、)、制御工学におけるインパルス関数 (インパルスかんすう、) とは、任意の実連続関数 に対し、を満たす実数値シュワルツ超関数 のことである。これはクロネッカーのデルタの自然な拡張になっている。ディラックのデルタ関数は、デルタ超関数 あるいは単にディラックデルタ とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数 の最初の例になっている。ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、 として実直線上常に一定の値 をとる関数をとり、デルタ関数をデルタ関数自身と との積であると見ることによりである。一方、積分値が の での値にしかよらないことからでなければならないが、その上で積分値が でない有限の値をとるためにはが満たされなければならない。上記のように特徴付けられるデルタ関数 は、その名前にも現れているように、あたかも通常の関数であるかのように扱われることも珍しくないが、実際には通常の意味の関数と見なすことはできない。例えば、デルタ関数を連続関数で表すことができないことは以下のようにして分かる。 が連続関数だったとして でゼロでない値をとるならば を含む小区間で非ゼロでなければならず、 で という条件を満たせない。したがって で ならばそれは常に の値をとる関数であり、他の関数と掛けて積分しても デルタ関数とその性質 以外の値をとることはない。点 においてのみ不連続であることを認めても、デルタ関数の特徴付けに用いられている積分が、通常の関数の(広義)リーマン積分やルベーグ積分として理解されるならば、このような関数の積分は恒等的に に等しい関数を積分するのと同じであり積分値は になる。したがって、このような条件を満たすような通常の関数は存在しない。しかし、通常の意味ではまったく関数ではないデルタ関数は、適当な枠組みの下では意味を持ち、例えばデルタ分布はヘヴィサイドの階段関数の弱微分(超関数の意味での微分)を与えている。デルタ関数は実軸上滑らかで有界な関数の空間 formula_6 上の汎関数になっているが、formula_6 の双対空間の中でデルタ関数に弱収束するような関数の族 、つまりが任意の formula_8 について成り立つような族 がいくつか知られている。同様にして、滑らかかつ有界とは別な条件を満たす関数の空間の上の汎関数としての弱収束の表示も与えられている。以下に代表的例を 2 つ挙げる。中心 、分散 の正規分布の密度関数は、デルタ関数の満たすべき性質を満たす。さらに、 で とすれば の近傍の外で一様に かつ である。これは、 とすることで、関数族 が汎関数としてデルタ関数に近づくことを意味する。したがって、デルタ関数はある意味で正規分布の密度関数の極限と見なすことができ、と表現される。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。Sinc関数から変数変換とスケーリングによって得られる関数族は、デルタ関数の満たすべき条件を満たす。ただし、これは左辺を広義積分 formula_9 として解釈した際に成立する等式である。上記の例と違ってこの関数族は としても各点収束しないが、任意のコンパクト台の滑らかな関数 に対してが成り立っている。これも弱収束の意味でデルタ関数を近似していると考えられ、と表現される。佐藤超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的には ならば である。また、デルタ関数の最も重要な性質であるは、複素解析学のコーシーの積分公式から導かれる。厳密な定義には層係数のコホモロジー論を必要とするが、1 変数の場合は比較的容易に理論展開できる。ディラック関数は以下のようにして定まるディラック測度 の非形式的な密度関数だと解釈することができる。実直線のボレル部分集合 に対して、 が を含む場合 、そうでない場合 とすると、 は デルタ関数とその性質 -加法性を持っている。この測度に関する有界ボレル関数の積分はであり、形式的に が成り立っている。ミクシンスキーの演算子法に従い、 上の複素数値連続関数の全体 が畳み込みに関して零因子を持たないというを用いて、(単位元を持たない可換な)整域としての の商体 を構築する はティッチマーシュ・ミクシンスキー代数や、ミクシンスキー演算子(ヘヴィサイド演算子、—超関数)の体などと呼ばれる。 には にはなかった乗法の単位元 が付加されているが、この はしばしばデルタ関数と看做される。実際 は、特に定数関数 に対応する積分作用素 に対して すなわち、形式上は任意の に対してを満たさなければならない(もし が 上の連続関数ならば、 とすれば左辺は となるから、これを の中だけで考えることはできない)。再び形式的な議論だが、この被積分関数を と の指示関数との値ごとの積と見なすことで、無限区間でのデルタ関数の性質が満たされると考えることができる。一方で、十分小さな に対しだから、 で が満たされていると考えることができる。

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