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フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ
これを二次方程式に変形すると
$r^-r-1 = 0$

【応用】フィボナッチ数列の一般項

右辺を左辺に移行すれば\[ F_-(\alpha+\beta) F_ +\alpha\beta F_n=0 \]となります。同じように元の漸化式も変形すると\[ F_-F_-F_n=0 \]となります。これらのことから、 $\alpha,\beta$ は\[ x^2-x-1=0 \]の解になることがわかります。これはちょうど漸化式で $F_$ を $x^2$ に、 $F_$ を $x$ に、 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $F_n$ を $1$ に置き換えた式になっています。

これを解くと、\[ x=\frac <1\pm\sqrt<5>> \]となります。このプラスの方を $\alpha$ とし、マイナスの方を $\beta$ とすると、次の2つの式が成り立ちます。
\begin F_-\alpha F_ &=& \beta(F_-\alpha フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_n) \\[5pt] F_-\beta F_ &=& \alpha(フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_-\beta F_n) \\[5pt] \end1つ目の式から、 $\$ は、公比が $\beta$ の等比数列であることがわかります。初項は \begin F_2-\alpha F_1 &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \beta \endであることがわかります。よって、\[ F_-\alpha フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_n=\beta^n \]となります。

また、2つ目の式から $\-\beta F_n\>$ は公比が $\alpha$ の等比数列であることがわかります。初項は
\begin F_2-\beta F_1 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ &=& 1-\frac > \\[5pt] &=& \frac > \\[5pt] &=& \alpha フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \endなので、\[ F_-\beta F_n=\alpha^n \]となります。

2つを並べると
\begin F_-\alpha F_n &=& \beta^n \\[5pt] F_-\beta F_n &=& \alpha^n \endとなり、下の式から上の式を引けば \begin (\alpha-\beta)F_n &=& \alpha^n-\beta^n \\[5pt] \endとなります。ここで、\[ \alpha-\beta=\frac >-\frac >=\sqrt \]なので、 \begin フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ F_n &=& \frac <\sqrt>\left\ <\left(\frac>\right)^n-\left(\frac >\right)^n\right\> \\[5pt] フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \endとなることがわかります。これが、フィボナッチ数列の一般項です。

フィボナッチ数列の一般項

(1) 初期条件 $F_1 = F_2 = 1$ と隣接 $3$ 項間漸化式 $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 \[\< F_n\>:フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots\] をフィボナッチ数列(Fibonacci sequence)と呼び, その項として表される整数をフィボナッチ数(Fibonacci number)と呼ぶ. (2) 初期条件 $L_1 = 1,$ $L_2 = 3$ と隣接 $3$ 項間漸化式 フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $L_ = L_n+L_$ で定まる数列 \[\< L_n\>:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,\cdots\] をリュカ数列(Lucas sequence)と呼び, その項として表される整数をリュカ数(Lucas number)と呼ぶ.

ビネの公式

定理《ビネの公式》

ビネの公式の応用

定理《フィボナッチ数列の隣接項の比》

定理《フィボナッチ数列とリュカ数列の相互関係》

定理《偶数番目のリュカ数》

ビネの公式により, フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ \[\begin L_ &= \varphi ^+\tilde\varphi ^ = (\varphi ^n+\tilde\varphi ^n)^2-2(\varphi\tilde\varphi )^n \\ &= L_n<>^2-2(-1)^n = L_n<>^2+2(-1)^ \end\] が成り立つ.

高校数学の問題

問題《リュカ数を表す対称式の値》

$\alpha = \dfrac,$ $\beta = \dfrac$ について, \[\alpha +\beta, \quad \alpha\beta, \quad \alpha ^2+\beta ^2, \quad \alpha ^4+\beta ^4\] の値を求めよ.

問題《フィボナッチ数列の一般項と和》

$1$ 歩目は $1$ 段だけ上るとし, $2$ 歩目以降は $1$ 歩で $1$ 段上ることも $2$ 段上ることもできるとして, $n$ 段の階段を上る方法の総数を $F_n$ とおく. また, 同様の方法で フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ $n$ 段以下の階段を上る方法の総数を $S_n$ とおく. (1) $F_ = F_n+F_$ が成り立つことを示せ. (2) 数列 $\< F_-\alpha F_n\>,$ $\< F_-\beta F_n\>$ がそれぞれ公比 $\beta,$ $\alpha$ の等比数列となるような定数 $\alpha,$ $\beta\ (\alpha > \beta )$ を $1$ 組求めよ. (3) 数列 $\< F_n\>$ の一般項を求めよ. (4) 数列 $\< S_n\>$ の一般項を求めよ.

関数と極限

問題《フィボナッチ数列の隣接項の比の極限》

$F_1 = F_2 = 1,$ $F_ = F_n+F_$ で定まる数列 $\< F_n\>$ は「フィボナッチ数列」と呼ばれ, その一般項は \[ F_n = \frac\left\<\left(\frac<1+\sqrt 5>\right) ^n-\left(\frac\right) ^n\right\>\] であることが知られている(証明はこちらを参照). この数列について, 隣り合う項の比の極限 $\lim\limits_\dfrac$ を求めよ.

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